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Le pape François a une façon bien à lui d’utiliser des images scientifiques dans ses discours; sans doute un héritage de sa formation de chimiste. Il utilise fréquemment l’image du polyèdre pour évoquer l’humanité dans sa diversité et la manière dont nous devrions vivre ensemble. Dès 2013, à Vérone, il imaginait déjà l’humanité comme un polyèdre : toutes ces faces différentes qui, ensemble, forment une seule et même famille humaine.
Pour lui, c’est exactement ce que devrait être une vraie mondialisation : pas une uniformisation aplatissant, mais une harmonie dans la diversité. « Il me plaît d’imaginer l’humanité comme un polyèdre, dans lequel les formes multiples, s’exprimant, constituent les éléments qui composent, dans la pluralité, l’unique famille humaine. C’est cela, la vraie globalisation ! »
Il revient sur cette image dans Evangelii Gaudium (n° 236). Plus tard, en 2019 à Naples, lors d’une rencontre sur la théologie, il va encore plus loin. Il rêve de facultés de théologie où l’on vit vraiment la « convivialité des différences », où l’on fait une théologie du dialogue et de l’accueil, et où le savoir théologique ressemblerait à un polyèdre plutôt qu’à une sphère parfaite, figée et coupée du réel (documentation ici).
C’est l’occasion de se poser la question : mais concrètement, c’est quoi un polyèdre ?
Il y a cinq volumes que l’on pense être les plus essentiels, parce qu’ils sont les seuls volumes qui ont tous les côtés égaux et tous les angles intérieurs égaux. Ce sont le tétraèdre, l’octaèdre, le cube, le dodécaèdre et l’icosaèdre et chacun est respectivement l’expression volumétrique du triangle, du carré et du pentagone, donc des nombres 3, 4, 5. On donne le nom de solides platoniciens à ces cinq volumes.
Pour une définition plus mathématique se reporter à l’article POLYÈDRE, Polyhedron, Polyeder.
Platon (dans le Timée) les a même reliés aux quatre éléments et à l’univers. Ces solides sont liés aux éléments : feu, terre, air, eau, et le dodécaèdre à l’univers entier ou à l’éther. Pour Platon, il n’y a qu’un seul monde, ou que s’il en existe plusieurs, il ne peut pas y en avoir plus de cinq. Mais, en supposant que celui que nous voyons soit unique, comme le pense Aristote, il est du moins en quelque sorte composé de cinq mondes : la terre, l’eau, l’air, le feu et le ciel, que les uns appellent la lumière, les autres, l’éther, d’autres enfin, la quintessence. Cette dernière substance est de tous les corps le seul qui tienne de la nature, et non de la nécessité ou du hasard, ce mouvement circulaire qui lui est propre. C’est aussi par analogie aux cinq formes les plus belles et les plus parfaites qui soient dans la nature, que Platon a assigné à ces cinq mondes la pyramide (feu), le cube (terre), l’octaèdre (air), l’icosaèdre (eau) et le dodécaèdre (éther), et qu’il attribue à chacun d’eux la figure qui lui convient.
« Nous commencerons par le premier, composé du plus petit triangle. Il a pour élément le triangle dont l’hypoténuse est double du petit côté. Si l’on rapproche deux de ces triangles, de manière que les deux côtés superposés soient la diagonale de la figure formée par ce rapprochement, et que l’on répète trois fois cette opération, en ayant soin que toutes les diagonales et tous les petits côtés se réunissent en un même point qui leur serve de centre commun, on obtiendra un triangle équilatéral composé de six triangles partiels. Or, lorsque quatre de ces triangles équilatéraux sont réunis, tous les points où se rencontrent trois angles plans, forment un angle solide, dont la grandeur surpasse celle de l’angle plan le plus obtus. En formant une figure qui ait quatre de ces angles, on obtient la première espèce de solide, qui divise toute la sphère dans laquelle il est inscrit en parties égales et semblables . Le second solide provient des mêmes triangles équilatéraux réunis au nombre de huit, et de telle façon que chaque angle solide soit composé de quatre angles plans; il fallut six angles pareils pour accomplir cette seconde espèce de solide. La troisième est formée de la réunion de cent vingt triangles élémentaires; elle a douze angles solides, dont chacun résulte de cinq triangles équilatéraux et vingt triangles équilatéraux pour bases Ce sont là les seuls solides à la formation desquels servit cet élément. Le quatrième solide fut produit par l’autre élément, le triangle isocèle; quatre triangles isocèles furent réunis, les quatre angles droits au centre, de manière à composer un tétragone équilatéral; six de ces tétragones donnèrent huit angles solides, chaque angle solide étant formé de trois angles plans ; et de cet assemblage résulta la figure cubique, qui a pour base six tétragones réguliers. Et comme il restait une cinquième combinaison, Dieu s’en servit pour tracer le plan de l’univers. »
L’histoire des polyèdres se poursuit par les travaux d’Archimède (297-212 av. J.-C.) qui découvre une nouvelle classe de polyèdres dont les faces sont des polygones réguliers, mais qui sont de nature différente, par exemple des triangles, des carrés et des pentagones. Treize polyèdres semi-réguliers dits archimédiens sont obtenus à partir des cinq polyèdres platoniciens.
Les néoplatoniciens, puis les penseurs de la Renaissance, y voient une clé pour comprendre l’ordre divin dans le monde sensible.
Bref, le polyèdre, c’est une figure qui accepte plusieurs types de faces, qui dialogue avec la différence au lieu de l’effacer.
Commençons par le tétraèdre (ou pyramide à base triangulaire). C’est le plus simple des cinq : seulement 4 faces équilatérales, 4 sommets, 6 arêtes. Il est le premier dans l’ordre de complexité, et sa particularité saute aux yeux : c’est le seul polyèdre régulier qui « pointe » vers le ciel comme une flamme. Dans le Timée de Platon, il incarne le feu, l’élément le plus subtil et le plus mobile. Pour Guillaume Postel, cette particularité devient profondément biblique : le tétraèdre symbolise l’Esprit divin qui descend, la lumière incréée, presque le Verbe qui s’incarne. Postel y voit une image de la Trinité en puissance (trois faces visibles autour d’un sommet caché). Sa légèreté géométrique en fait le polyèdre du « commencement » : il est le feu primordial de la Création, celui qui anime tout sans jamais se consumer.
Vient ensuite l’hexaèdre, plus connu sous le nom de cube. 6 faces carrées, 8 sommets, 12 arêtes : une solidité parfaite, stable, qui repose sur n’importe quelle face. Sa particularité ? C’est le seul à avoir des faces quadrangulaires, donc parfaitement « terriennes ».
Platon l’associe à la terre, l’élément le plus dense et le plus stable.
«Donnons à la Terre la figure cubique. En effet, des quatre genres, la Terre est la plus stable, de tous les corps c’est le plus facile à modeler, et tel devrait être nécessairement celui qui a les bases les plus sures». Platon Timée, Tome XII (164). Cette stabilité devient une métaphore de l’Église ou du Temple : le cube est le fondement matériel de la Création, l’autel sur lequel repose le monde sensible. il est relié aux « eaux inférieures » de la Genèse qui se stabilisent en terre ferme. Sa régularité absolue en fait le polyèdre de l’incarnation : tout ce qui est solide, mesurable, « carré » dans la foi chrétienne. (Les premiers éléments d’Euclide chrestien, pour la raison de la divine et éternelle vérité demontrer , par Guillaume Postel, dict Rorisperge,…)
Le troisième, l’octaèdre, est comme un diamant à huit faces triangulaires, 6 sommets et 12 arêtes. Sa particularité géométrique est double : il est le « dual » du cube (on peut inscrire un cube dans un octaèdre et vice-versa), et il flotte presque dans l’espace, équilibré sur un sommet ou une face. Platon l’attribue à l’air, l’élément intermédiaire, léger et respirable. Cette dualité devient mystique : l’octaèdre symbolise l’âme humaine prise entre ciel et terre, ou encore l’Esprit Saint qui « plane » sur les eaux (Genèse 1,2). On y voit une figure de médiation, presque christique, qui relie les opposés. Sa symétrie parfaite en fait le polyèdre du souffle divin, celui qui permet le passage du matériel au spirituel.
Le quatrième est le plus « aquatique » : l’icosaèdre, avec ses 20 faces triangulaires, 12 sommets et 30 arêtes. Voilà sa particularité qui fascine : 20 = 5 × 4, c’est-à-dire cinq quaternaires superposés. Cela permet de le diviser en cinq « couches » qui vont des eaux inférieures jusqu’à la quintessence. Platon le lie à l’eau, l’élément fluide et changeant par excellence. Dans l’interprétation de Postel, l’icosaèdre devient le polyèdre de la mesure universelle : il contient toutes les proportions, il « moule » les eaux primordiales de la Création et les fait passer des abysses aux cieux. C’est le plus « vivant » des cinq, presque en mouvement perpétuel, image des mers bibliques qui se retirent pour laisser place à la vie. Sa complexité triangulaire (20 triangles !) en fait le symbole de la multiplication divine, de l’expansion de la grâce.
Enfin, le cinquième et dernier, le dodécaèdre : 12 faces pentagonales régulières, 20 sommets, 30 arêtes. Sa particularité saute aux yeux : c’est le seul dont les faces ne sont pas des triangles ou des carrés, mais des pentagones. Sa forme approche le plus le cercle, donc l’infini. Platon lui réserve l’univers entier, l’éther ou la quintessence, l’élément qui contient tous les autres. Postel en fait le couronnement de son Euclide chrétien : le dodécaèdre est l’image de la norme cosmique, de la « régularité » divine, presque du Corps mystique du Christ ou du Zohar dans sa plénitude. Pour Postel, ses 12 faces renvoient aux 12 tribus, aux 12 apôtres, aux 12 signes du zodiaque… C’est le polyèdre qui « ferme » le cosmos tout en l’ouvrant sur l’infini divin. Sa rareté (il ne « tient » pas sur une face comme les autres) en fait le symbole de la transcendance : il est le ciel étoilé, la Jérusalem céleste, le sceau de la Création achevée.
Voir la Conférence de Jean-PierreBrach, Histoire des courants ésotériques dans l’Europe moderne et contemporaine
Pacioli, moine franciscain mathématicien, publie en 1509 son traité De divina proportione. Il y définit les solides comme « dépendants », car ils sont obtenus en tronquant d’autres figures, processus pour lequel on enlève certaines parties à un solide de manière à en obtenir un nouveau qui respecte les caractéristiques de régularité demandées (à partir de la p.82/286).
Dans le cas des polyèdres semi-réguliers plus complexes, cette procédure représente une grande simplification, à tel point que Pacioli, dans son De divina proportione, ne s’occupe que des six premiers solides. À partir de ces 6 solides et des 5 solides réguliers, Pacioli construit leur dérivé par stellation, procédé qui prévoit la substitution de chaque face du polyèdre par une pyramide qui a comme base une face et, pour les autres faces, des triangles équilatéraux. Dans le langage du De divina proportione, un solide obtenu en le tronquant est dit « abscis », tandis qu’un solide obtenu par stellation est dit « élevé ».
Et c’est là que Léonard de Vinci entre en scène. Pacioli demande à son ami génial de dessiner les illustrations pour ce livre. Résultat : une série de superbes polyèdres en perspective, d’une précision et d’une élégance folles. On y trouve les cinq solides platoniciens (tétraèdre, cube, octaèdre, dodécaèdre, icosaèdre), mais aussi des variantes plus complexes, comme des polyèdres arquimédiens ou des corps semi-réguliers. Léonard les représente en fil de fer, presque comme des squelettes transparents, avec une maîtrise incroyable de la perspective et des ombres.Ces dessins ne sont pas seulement techniques. Ils portent une charge symbolique très forte (Leonardo de Vinci et Luca Pacioli : les illustrations du « De divina proportione »).
Léonard, lui, même s’il reste très ancré dans l’observation empirique, semble adhérer à cette idée. Ses dessins ne sont pas froids : ils respirent une beauté presque spirituelle. On sent que pour lui, géométrie et contemplation se rejoignent. Il dessine ces formes comme si elles étaient vivantes, en mouvement, tournées dans l’espace pour qu’on les voie sous tous les angles. C’est une invitation à admirer l’harmonie cachée derrière le visible. « Ce que nous appelons intelligence n’est peut-être que la trace, en nous, de l’intelligence qui a structuré le monde. Et si notre raison parvient à déchiffrer les lois du cosmos, c’est qu’elle est, d’une certaine façon, de la même nature que ce qu’elle déchiffre. » (Frédéric Beatrix)
À la fin du XVe siècle, Venise et Milan sont des foyers où se croisent humanisme, théologie, arts et sciences naissantes.
Pacioli et Léonard incarnent parfaitement cette fusion. Le traité n’est pas un manuel aride : c’est une méditation sur la beauté comme voie vers le divin.
Képler a montré que la distance des planètes entre elles est proportionnelle aux emboîtements des solides de Platon, rendant compte de l’harmonie céleste selon le plan divin de l’univers.
L’illustration de l’article est inspirée du designer japonais Naoki Yoshimoto (1971) qui en a réalisé un magnifique exemplaire en or et argent (Musée d’Art Moderne de New York). Des copies sont vendues à la boutique du MoMA.